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Sistemas Inecuaciones

ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

Puntos en el plano

El plano, por ejemplo, la pantalla del ordenador o la hoja de papel sobre la que escribimos, lo consideramos formado por puntos.

Los puntos en el plano no los definimos, los representamos y los nombramos con las letras mayúsculas del alfabeto y los localizamos en el plano utilizando un sistema de referencia .

Un sistema de referencia son dos rectas perpendiculares entre si, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abcisas y al vertical eje de ordenadas.

Sobre cada eje se establece una unidad para medir, no tiene que ser la misma, que establece una correspondencia entre cada punto del eje y un número real y entre cada número real y cada punto del eje.

Ejemplo : Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano.

Un punto del plano queda determinado por su coordenada x y por su coordenada y. En el caso de la figura anterior, las coordenada del punto A son : coordenada x=7, coordenada y= 5 y escribimos A(7, 5).

Vectores en el plano

Llamamos vector al par ordenado de puntos AB . Es idéntico al segmento rectilineo orientado, o sea, recorrido desde A hasta B. Al primer punto lo llamamos origen; al segundo, extremo. Para distinguirlos, en el dibujo, se pone una flecha. Entre los vectores se cuentan los pares de puntos idénticos AA, que son los vectores nulos.

Realmente lo que nos interesa de estos elementos son su magnitud (módulo), dirección y sentido. De forma que todos los vectores que tengan la misma magnitud, dirección y sentido, los agrupamos en una clase, que origina un nuevo objeto, al que llamamos vector libre y que podemos representar por cualquiera de sus elementos, cualquiera de ellos representa a la clase.

A los vectores libres los representamos por letras minúsculas del alfabeto, en ocasiones coronadas por una flecha. Dado un sistema de referencia los vectores libres quedan determinados por un par de números reales, llamados sus componentes.

Observar en la figura como el vector   v   tiene las mismas componentes, independientemente de que en cada uno el punto origen y el punto extremo, son distintos. En adelante cuando nos refiramos a un vector, nos referimos a un vector libre. Como se puede observar en la figura, un vector queda determinado dando su origen y su extremo o dando sus componentes, mediante la siguiente fórmula:

Observación :

No hay que confundir un punto con un vector, ambos se determinan por un par de números reales, pero conceptualmente son muy diferentes.

Rectas en el plano.

Una recta en el plano queda determinada por dos puntos o por un punto y una dirección (vector).

Como ejemplo, vamos a determinar, en la figura siguiente, la recta dada por el punto A(2, 3) y el vector  v   (-1, 2).

Las coordenadas P(x, y) de los puntos que pertenecen a la recta se obtienen sumando al vector OA, el vector v multiplicado por un número real.

Puede ser motivo de confusión, que las coordenadas del punto P(x, y) coinciden con las componenetes del vector OP. Esta circustancia permite utilizar métodos vectoriales o métodos paramétricos para obtener las coordenadas de los puntos P(x, y) que pertenecen a la recta.

Observación: El vector de componenets (-b, a) es el vector que determina la dirección de la recta y se llama vector director. Todas las rectas con un mismo vector director son paralelas.

Ejemplo: Sea la recta de ecuación:

x   -   2y   =   5

Para dibujarla en un sistema de referencia , sólo tenemos que determinar dos puntos o el vector director y un punto. El vector director es (2, 1) y para determinar puntos que pertenezcan a la recta, despejamos una de las variables en función de la otra, por ejemplo, la x en función de la y.

x   =   5   +  2y

Y dando valores a y, obtenemos valores para x.

Semiplano: Una recta divide al plano en dos regiones, cada una de las cuales se conoce como semiplano.

Si la ecuación de la recta es :

ax   +   by  =   c

Los semiplanos en que divide al plano esta ecuación vienen dados por las soluciones de las inecuaciones :

ax+by   <   c     ;     ax+by   >   c

Ejemplo: Sea la recta de ecuación :

3x   -   2y   =   5

Los semiplanos que define son :

El semiplano determinado por cada inecuación es su conjunto de soluciones. Una vez dibujada la recta en un sistema de referencia, si no pasa por el origen, la forma más practica de determinar el semiplano solución de cada inecuación, consiste en probar con el punto (0, 0) en la ecuación de la recta y cmprobar qué inecuación satisface; si la recta pasa por el origen, se prueba con cualquier otro punto de coordenadas sencillas.

Sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.Es el conjunto de dos o más inecuaciones que se deben satisfacer a la vez.

Conjunto solución del sistema o región factible es la región formada por la intersección de los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones de un sistema.

Polígono convexo o región convexa . Es toda región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la región , el segmento que los une está contenido en su interior.

La región factible es un polígono convexo y puede ser: acotado, no acotado y vacío, es decir, que no haya ni un solo punto que verifique todas las restricciones al mismo tiempo.

Programación lineal Es una parte de las matemáticas que trata de optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal en un conjunto definido por unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.

Función objetivo Es la función que deseamos optimizar, es decir, maximizar o minimizar. En el caso bidimensional, que es el que nos interesa, la representamos por :

f(x,y)=ax+by+c

Rectas de nivel Son las rectas que pasan por los puntos de la región factible y son paralelas al vector director de la función objetivo.

Solución óptima Es el punto o conjunto de puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor máximo o el valor mínimo. La solución óptima siempre se alcanza en uno de los vértices o en el segmento que une dos vértices de la región factible.

Planteamiento del problema

Gráfica de Sistemas de desigualdades lineales en dos variables

Una ecuación lineal con dos variables x y y, es de la forma: 

ax+by+c=0,     a,b ambos no iguales a cero 

Donde tiene un conjunto solución que se puede exhibir en forma gráfica como los puntos de una línea recta en el plano xy. Ahora se mostrará que también existe  una representación gráfica sencilla de las desigualdades lineales con dos variables: 

ax+by+c<0     ax+by+c<0
ax+by+c>0     ax+by+c>0

Antes de ver un procedimiento general para graficar tales desigualdades, se analizará, un ejemplo específico. Supóngase que hay que graficar

2x+ 3y <6                                                      (1)

  Primero se grafica la ecuación 2x+ 3y =6, la cual se obtiene de la desigualdad dada reemplazando la desigualdad “<” por una igualdad “=” (Fig. 1)

 

 Obsérvese que la recta divide al plano xy en dos semiplano: uno superior y uno inferior. Se mostrará que el semiplano  es la gráfica de la desigualdad lineal 

2x+ 3y >6                                                   (2)

mientras que el semiplano inferior es la gráfica de la desigualdad lineal 

2x+ 3y <6                                                   (3)

  Para ver esto, se escriben (2) y (3) en las formas equivalentes 

y>-2/3x+2                                                   (4)

y<-2/3x+2                                                   (5)

  La ecuación de la propia recta es 

y =-2/3x+2                                                    (6)

Ahora, se elige cualquier punto P(x,y) que está arriba de la recta L; sea que Q el punto en L que está directamente bajo P.(fig.1). Como Q está en L sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (6). En otras palabras, Q se representa como Q(x,-2/3x+2). Al comparar las coordenadas de P y Q y recordar que P está arriba de Q, de modo que su ordenada debe ser mayor que la de Q, se tiene 

y>-2/3x+2  

Pero esta desigualdad es precisamente la ecuación (4) o, en forma equivalente, la ecuación (2). De manera análoga, se puede mostrar que cualquier punto que se encuentre debajo de L debe satisfacer la ecuación (5) y por lo tanto (3).

 Este análisis muestra que el semiplano inferior proporciona una solución a nuestro problema (fig.2). (La línea punteada indica que los puntos en L no pertenecen al conjunto solución.). Obsérvese que los dos semiplanos en cuestión son mutuamente excluyentes; es decir, no tienen puntos en común. Debido a esto, existe un método alternativo más sencillo para determinar la solución del problema.

 Para determinar el semiplano requerido, se elige cualquier punto en uno de los semiplanos.  Para simplificar el proceso, elíjase el origen (0,0), que está en el semiplano inferior.  Al sustituir x =0 y y =0 (las coordenadas de este punto) en la desigualdad dada (1), se tiene

2(0)+3(0)<6

o 0<6, lo que es cierto. Esto dice que el semiplano requerido es el semiplano que contiene al punto de verificación; esto es, el semiplano inferior.

          A continuación se verá que ocurre al elegir el punto (2,3), que está en el semiplano superior. Al sustituir x =2  y y =3 en la desigualdad dada se tiene

2(2)+3(3)<6

o 13<6, lo que es falso. Esto significa que el semiplano superior no es el semiplano requerido, como era de esperarse. Obsérvese también que ningún punto (x,y) que esté en la recta constituye una solución a este problema, debido a la desigualdad estricta “<”.

          Este análisis sugiere el siguiente procedimiento para graficar una desigualdad lineal en dos variables.

Procedimiento para graficar desigualdades lineales
1.      Se traza la gráfica de la ecuación obtenida de la desigualdad dada, reemplazando  el signo de desigualdad con un signo de igualdad. Se utiliza una línea punteada si el problema comprende una desigualdad estricta, “<” o “>”. En caso contrario, se usa una línea sólida para indicar que la recta forma parte de la solución.
2.      Se elige un punto de verificación que esté en alguno de los semiplanos determinados por la recta trazada en el paso 1 y se sustituyen los valores de x y y en la desigualdad dada. Cuando sea posible, se utilizará el origen.
3.      Si se satisface la desigualdad, su gráfica incluye el semiplano que contiene al punto de verificación. En caso contrario, la solución incluye el semiplano que no lo contiene.
Gráfica de Sistemas de desigualdades lineales 
El conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales en los dos variables x y y es el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen cada desigualdad del sistema. La solución
 gráfica de tal sistema se puede obtener graficando el conjunto solución para cada desigualdad de manera independiente y determinando a continuación la región común de los diversos conjuntos solución . 

Determinar el Conjunto solución del sistema 

4x+ 3y>12
   x - y<0

Solución:  Al proceder como en los ejemplos anteriores, no tendríamos la dificultad en localizar los semiplanos determinados por cada uno de las desigualdades lineales que forman el sistema. Estos semiplanos aparecen en la figura 3. La intersección de los dos semiplanos es la región sombreada. Un punto de esta región es un elemento del conjunto solución del sistema dado. El punto P, la intersección de las dos líneas rectas determinadas por las ecuaciones, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas.

4x+ 3y = 12
x – y = 0

 

Trazar el conjunto solución del sistema

x + y – 6 <0
2x+ y –8 <0  
y>0    x>0  
Solución: La tercera desigualdad del sistema define el semiplano derecho (todos los puntos a la derecha del eje y, más todos los puntos que están sobre el propio eje y). La cuarta desigualdad del sistema define el semiplano superior, incluyendo el eje x. Los semiplanos definidos por la primera y segundad desigualdad aparecen indicados mediante flechas en la figura 4. Así la región requerida, la intersección de los cuatros semiplanos definidos mediante las cuatros desigualdades en el sistema dado de desigualdades lineales, es la región sombreada. El punto P se determina resolviendo las ecuaciones simultáneas  x + y – 6 =0     2x+ y –8 =0.

El conjunto solución que se encontró en  el ejemplo 2 es un ejemplo de conjunto acotado. Obsérvese que el conjunto se puede encerrar en un círculo de radio 10 con centro en el origen, se verá que el conjunto está completamente dentro del círculo. Por otro lado, el conjunto solución del ejemplo 1 no se puede encerrar en un círculo y se dice que no está acotado.

Conjunto solución acotados y no acotados Un conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales está acotado si se puede encerrar en un círculo. En caso contrario, no está acotado.

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