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2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 

2.1. Introducción.

            Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.

            Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes de ayer. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger las más barata.

            Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas.

            La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.

 

 Supuestos de la programación lineal.

            Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.

            El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de producto producirá dos veces más de ganacia, contratando el doble de páginas en las revistas doblará el costo relacionado con las revistas. Es una Suposición de Proporción.

            Además, la contribución de una variable a la función objetivo es independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una computadora Notebook es de $10,750.00, independientemente de cuantas computadoras Desktop se producen. Este es un Supuesto de Adición.

            Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la contribución de cada variable al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de cualquier ora variable.

            Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.

            El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posible tomar una fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qué significa comprar 2.67 avisos en la televisión?. Es posible que la suposición de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la solución serían 2,667 minutos con una mínima duda que esté cercana a la solución óptima. Si la suposición de divisible no es válida, entonces se usará la técnica de Programación Lineal Entera.

            La última suposición es el Supuesto de Certeza. La Programación Lineal no permite incertidumbre en los valores.

            Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los requerimientos más estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados.

 

            Existen limitaciones prácticas para el uso de la PL. Una se relaciona con los cálculos. En general se necesita una computadora. Desafortunadamente, las calculadoras, aun las programables, son poco útiles, puesto que la PL tiene necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento. Si no se tiene acceso a una computadora, se estará limitado a problemas muy sencillos. La otra limitación se refiere al costo de formular un problema de PL. En teoría, podría usarse PL, por ejemplo, para hacer las compras semanales de abarrotes. Sin embargo, sería necesario conocer todas las compras posibles que pueden realizarse (éstas serían las variables), además de cada restricción como sabor, número de comidas, vitaminas y proteínas. Es obvio que el costo de obtener todos estos datos excede lo que se podría ahorrar si se hicieran las compras óptimas. Antes de emprender una aplicación de PL, debe considerarse la disponibilidad y el costo de los datos necesarios.

 

2.2. Formulación de modelos de Programación Lineal.

            Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil.

            Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será:

 

3A + 2B = 100

 

            Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad:

 

3A + 2B £ 100

 

            Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como:

 

A ³ 2B                        ó          A - 2B ³ 0

 

            Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que A sea por lo menos tan grande como B - 2, entonces:

 

A

³

B - 2

ó          A - B

³

- 2

por último  B - A

³

2

 

            Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una ecuación. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra. Por ejemplo:

 

B - A £ 2        es lo mismo que          B - A + S = 2

 

en donde S representa la diferencia, o la holgura, entre B - A y 2. S se llama variable de holgura. Por otro lado, se restaría una variable de superávit en el caso siguiente:

 

A - 2B ³ 0      es lo mismo que          A - 2B -S = 0

 

            Algunos métodos de solución (como el Método Símplex) y la mayoría de los programas de computadora (como el MathProg, que viene en el OR Courseware, que acompaña al libro “Introducción a la Investigación de Operaciones” de los autores Hillier y Lieberman) requieren que todas las desigualdades se conviertan en igualdades.

 

            La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas.

            Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema.

            Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma:

 

Maximizar         Z = 4A + 6B

ó

Minimizar         Z = 2x1 + 5x2

 

            Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de Programación Lineal.

 

Planeación de la fuerza de trabajo.

            El gerente de personal de “La Tortuga Veloz, S.A. de C.V.”, está analizando la necesidad de mano de obra semi calificada durante los próximos seis meses. Se lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este período de entrenamiento un trabajador regular, junto con uno en adiestramiento (aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2 trabajadores regulares. Se paga $500.00 mensuales a quien está en entrenamiento, mientras que los trabajadores regulares ganan $800.00 mensuales. La rotación de personal entre los trabajadores regulares es bastante alta, del 10% mensual.

            El gerente de personal debe decidir cuántas personas necesita contratar cada mes para adiestramiento. En seguida se da el número de meses-hombre necesarios. También se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio. En cuanto al 1º de enero, hay 58 empleados regulares.

 

Mes

Meses-hombre requeridos

Mes

Meses-hombre requeridos

Enero

60

Abril

80

Febrero

50

Mayo

70

Marzo

60

Junio

100

 

            Este problema tiene un aspecto dinámico, ya que la fuerza de trabajo en cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento del mes anterior. Para cualquier mes, el número total de meses-hombre disponibles se puede expresar como sigue:

 

Meses-hombre disponibles:   Ri + 0.2Ai

 

en donde:        Ri  =  número de trabajadores regulares al principio del mes

                        Ai  =  número de aprendices contratados en el mes.

 

Entonces los requerimientos de cada mes pueden expresarse por las restricciones:

 

enero

R1 + 0.2A1

³

60

febrero

R2 + 0.2A2

³

50

marzo

R3 + 0.2A3

³

60

abril

R4 + 0.2A4

³

80

mayo

R5 + 0.2A5

³

70

junio

R6 + 0.2A6

³

100

julio (principio)

R7

³

110

 

Debido a la rotación, el 10% de los trabajadores regulares se van cada mes. Así, el número de trabajadores regulares disponibles, por ejemplo, al principio de febrero sería:

 

R2  =  0.9R1 + A1

 

En la misma forma, pueden escribirse las ecuaciones para el número de trabajadores disponibles al principio de cada mes:

 

enero

R1

=

58 (dado)

febrero

R2

=

0.9R1 + A1

marzo

R3

=

0.9R2 + A2

abril

R4

=

0.9R3 + A3

mayo

R5

=

0.9R4 + A4

junio

R6

=

0.9R5 + A5

julio

R7

=

0.9R6 + A6

 

El objetivo global del gerente de personal es minimizar el costo. La función objetivo es:

 

Minimizar:  Z = 800(R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + 500(A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6)

 

Ahora se tiene el problema en el formato general de PL con 13 variables y 14 restricciones.

 

            Los tomadores de decisiones en las empresas establecen criterios que debe cumplir una solución y, después, buscan esa solución. En PL, los criterios se expresan como restricciones. Se exploran las soluciones posibles y se usa la función objetivo para elegir la mejor de entre aquellas que cumplen con los criterios. La PL se denomina técnica de optimización, pero optimiza sólo dentro de los límites de las restricciones. En realidad es un método de satisfacción de criterios.

 

Forma estándar de los modelos de Programación Lineal.

            Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números (1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea xj (una variable de decisión) el nivel de la actividad j, para  j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de efectividad global seleccionada. Sea cj el incremento que resulta en Z por cada incremento unitario en xj (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea bi la cantidad disponible del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase aij como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m  y  j = 1, 2, ..., n). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir valores de x1, x2, ..., xn para:

 

Maximizar   Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

sujeto a las restricciones:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn £ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn £ b2

 

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn £ bm

y

x1 ³ 0,      x2 ³0,    ...,    xn ³ 0

 

Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.

            En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los modelos de PL. La función que se desea maximizar, c1x1 + c2x2 + ... + cnxn, se llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i) reciben el nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones xj ³ 0 se llaman restricciones de no negatividad. Las variables xj son las variables de decisión. Las constantes de entrada, aij, bi, cj, reciben el nombre de parámetros del modelo.

  

Otras formas de modelos de Programación Lineal.

            Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de algunos problemas de programación lineal. Las otras formas legítimas son las siguientes:

 

1. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo:

 

Minimizar   Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

 

2. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual:

 

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, ³ bi,      para algunos valores de i,

 

3. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación:

 

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, = bi,      para algunos valores de i,

 

4. Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad:

 

xj no restringida en signo para algunos valores de j.

 

Cualquier problema que incluya una, varias o todas estas formas del modelo anterior también se clasifica como un problema de PL, siempre y cuando éstas sean las únicas formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretación que se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no se aplique, pero independientemente de la interpretación o el contexto, lo único que se necesita es que la formulación matemática del problema se ajuste a las formas permitidas. Se verá que estas otras cuatro formas legales se pueden reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se presentó. Entonces, todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se desea.

  

2.3. Solución Gráfica de Modelos Lineales con dos Variables.

            Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema.

 

Ejemplo: Problema de mezcla de productos.

Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.

 

Paso 1: formulación del problema.

El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:

 

Maximizar   Z = 5x1 + 5x2

 

en donde:        x1 = número de mesas producidas

                        x2 = número de sillas producidas

 

¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:

 

12x1 + 8x2 £ 96

 

La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:

 

6x1 + 12x2 £ 72

 

Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas. Esto puede expresarse como:

 

x1 ³ 2

 

Por último, las restricciones de no negatividad son:

 

x1 ³ 0,  x2 ³ 0

 

Poniendo todo junto el modelo se tiene:

 

                                               Maximizar    Z = 5x1 + 5x2

                                               Restricciones: 12x1 + 8x2 £ 96

                                                                       6x1 + 12x2 £ 72

                                                                       x1 ³ 2

                                                                       x1 ³ 0,  x2 ³ 0

 

Paso 2: gráfica de las restricciones.

El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:

 

 

En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x1 (mesas) y x2 (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.

 

La siguiente restricción es  x1 ³ 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción.

 

Así, en el ejemplo, x1 ³ 2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está trazada en la siguiente figura:

 

 

Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la región factible incluye todos los valores de x1 que están sobre o a la derecha de la línea x1 = 2.

 

La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes, primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar la intersección con el eje X2 se hace x1 = 0. La ecuación se reduce, entonces, a:

 

12x2 = 72

    x2 =   6

 

La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así:

 

6x1 = 72

  x1 = 12

 

Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:

 

 

Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la región factible, ambas restricciones se cumplen.

 

 

La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 = 12 y x1 = 8, x2 =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:

 

 

Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la solución óptima.

 

Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.

Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 + 5x2. Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:

 

 

Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el problema.

 

En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x1 y x2 que satisface todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede observarse que hay ganancias más altas que son factibles.

 

 

Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible. Esto se muestra en la siguiente figura:

 

 

Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima:

 

Z = 5(6) + 5(3) = $45

 

 

Resumen del método gráfico.

Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:

1.   Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.

2.   Grafíquese cada restricción.

3.   Localícese la solución óptima.

 

Uso del método gráfico para minimización.

            Consideremos un Problema de PL en el cual el objetivo es minimizar costos. La solución del problema de minimización sigue el mismo procedimiento que la de problemas de maximización. La única diferencia es que ahora se quiere el menor valor posible para la función objetivo. Supóngase que se tiene el siguiente problema:

 

Ejemplo: Problema de dieta.

            Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada onza del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada onza del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo.

 

Paso 1: formulación del problema.

La meta en este problema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas. Las dos alternativas disponibles son los alimentos A y B. Matemáticamente la función objetivo es:

 

Minimizar   Z = 5A + 8B

 

Las restricciones son los requerimientos mínimos de las tres vitaminas. Éstas se muestran enseguida:

 

Restricciones:   4A + 10B ³ 40  vitamina W

                                   10A + 5B ³ 50  vitamina X

                                   7A + 7B ³ 49  vitamina Y

                                   A ³ 0,  B ³ 0  no negatividad

 

Paso 2: gráfica de las restricciones.

El procedimiento para graficar es el mismo que se usó antes: (1) graficar cada ecuación de restricción; (2) graficar el área apropiada. Para la primera restricción la ecuación es 4A + 10B = 40. Las dos intersecciones con los ejes son (0,4) y (10,0). Esta línea se muestra en la siguiente figura:

 

 

La restricción pide 40 unidades o más de la vitamina W. Cualquier punto que esté arriba de la línea de restricción será factible y todos los puntos que quedan abajo de esa línea serán aceptables. En la siguiente figura se muestra la región factible:

 

 

Después se grafica la restricción para la vitamina X. La ecuación 10A + 5B = 50 tiene intersecciones con los ejes en (0,10) y (5,0). En la siguiente figura se ilustran las restricciones para las vitaminas W y X. Nótese que las soluciones que quedan en las áreas a o b no son factibles, ya que quedarían abajo de las líneas de restricción.

 

 

Al agregar la tercera restricción, este segundo paso queda terminado, como se muestra en la siguiente figura:

 

 

Paso 3: localización de la solución óptima.

En la siguiente figura se muestra la frontera extrema más dos líneas de indiferencia, las de Z = 40 pesos y Z = 60 pesos. La frontera extrema está formada por los puntos a, b, c y d, puesto que éstos son los puntos de intersección factibles más cercanos al origen.

 

 

Gráficamente, el objetivo de minimizar el valor de Z significa ajustar una línea de indiferencia tan cerca del origen como sea posible. En la figura anterior puede observarse que existen muchas soluciones posibles para Z = 60, pero ninguna para Z = 40. Imaginando mover la línea Z = 60 hacia el origen, el último punto de contacto con la frontera extrema será el punto b. Entonces, el punto b es la solución óptima. En la figura anterior se observa que el punto b es la intersección de dos líneas:

 

(1)  4A + 10B = 40

(2)  7A +   7B = 49

 

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

 

Multiplíquese la ecuación (1) por 7:             (3)     28A + 70B =   280

Multiplíquese la ecuación (2) por – 4:                      (4)   –28A – 28B = –196

                                                                                            42B =  84

                                                                                                B =  2

Sustitúyase en la ecuación (1):                                            4A + 10(2) =  40

                                                                                                A =  5

 

La solución menos costosa es 5 kilogramos de alimento A y 2 kilogramos de alimento B. El costo total de esta combinación es:

Z = 5A + 8B = 5(5) + 8(2) = 25 + 16 = 41 pesos

Si se usa el método de prueba y error para localizar la solución óptima, se deben encontrar las coordenadas de los puntos a, b, c, y d. Se debe calcular después el valor de la función objetivo para cada punto. A continuación se muestran los resultados de este procedimiento:

 

Resultados de prueba y error

Punto

Coordenadas

Z = 5A + 8B

a

A = 10, B = 0

50

b

A = 5, B = 2

41 ¾ menor

c

A =3, B = 4

47

d

A = 0, B = 10

80

 

CASOS ESPECIALES.

 

Múltiples soluciones.

 

Maximizar

Z

=

3x1

+

2x2

 

 

sujeta a

 

 

x1

 

 

£

4

 

 

 

 

 

x2

£

12

 

 

 

3x1

+

2x2

£

18

 

 

 

x1 ³ 0,

 

x2 ³ 0

 

 

 

 

Ninguna solución factible.

 

Maximizar

Z

=

3x1

+

2x2

 

 

sujeta a

 

 

1/40x1

+

1/60x2

£

1

 

 

 

1/50x1

+

1/50x2

£

1

 

 

 

x1

 

 

³

30

 

 

 

 

 

x2

³

20

 

 

 

x1 ³ 0,

 

x2 ³ 0

 

 

 

 

Área o Región de Soluciones Factibles no Acotada.

 

Maximizar

Z

=

2x1

x2

 

 

sujeta a

 

 

x1

x2

£

1

 

 

 

2x1

+

x2

³

6

 

 

 

x1 ³ 0,

 

x2 ³ 0

 

 

 

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