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Problemas resueltos de Programación Lineal

Objetivos:

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1 776 se interesó por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1 939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese año, el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida, llamada hoy en día programación lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovftch.

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.

En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban gestando.

En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

Respecto al método simplex, que estudiaremos después, señalaremos que su estudio comenzó en 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma International Business Machines (IBM).

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de Dávid Hilbert en Gotinga y, desde 1 930, catedrático de la Universidad de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.

EN ESTE TEMA TRATAREMOS LOS SIGUIENTES CONTENIDOS:

1.)   Desigualdades.

2.)   Inecuaciones lineales con una incógnita y sistemas de inecuaciones  lineales con una incógnita.

3.)   Inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

4.)   Puntos óptimos de funciones lineales en conjuntos convexos.

5.)   Problemas de programación lineal con dos variables.

  1. Desigualdades.

Dado que el conjunto de los números reales R es totalmente ordenado, dados dos números reales a y b, siempre es cierta alguna de las tres relaciones siguientes:

a<b ó a>b ó a=b

Las dos primeras se llaman desigualdades.

Entre las desigualdades numéricas se cumplen las tres transformaciones de equivalencia siguientes:

  1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número, la desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:
  2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad conserva el sentido, es decir:
  3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir:
  4. Dados cuatro número reales a, b, c y d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de la ordenación con la suma, es decir:
  5. Dados dos números reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del primero es mayor que el del segundo y viceversa, es decir:
  6. Si un número real es menor que otro, con los opuestos de ambos la desigualdad cambia de sentido, es decir:

2.  
Inecuaciones lineales con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:

donde

Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicación de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:

Lo que indica que las inecuaciones lineales con una incógnita admiten un número infinito de solución que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales.

Ejemplo:

Resolver la inecuación:

Procedemos igual que si de una ecuación se tratase:

La solución es el intervalo cerrado por la derecha . Es cerrado por la derecha pues el signo usado ha sido menor o igual, si hubiese sido sólo menor, sería abierto.

El conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita se llama sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.

La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales que satisfagan simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución suele expresarse en forma de intervalo llevando cuidado de expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad utilizado.

Ejemplo:

Resuelve el sistema

De la primera inecuación se obtiene que:

De la segunda:

De la tercera:

La solución del sistema es la intersección de los tres intervalos obtenidos:

ya que no existe ningún número real que pueda ser al mismo tiempo menor o igual que 1, mayor que 2 y mayor que 4. Veámoslo en el siguiente dibujo, donde aparece pintado en rojo la solución de la 1*, en verde la de la 2* y en azul la de la 3*:

 

3. Inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

Una inecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de alguna de las formas siguientes:

Las inecuaciones lineales con dos incógnitas se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace, el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.

Ejemplo:

Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0

Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:

Luego la solución es la zona sombreada de la figura adjunta.

Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por n de estas inecuaciones, es decir:

o cualquier otro signo de desigualdad.

Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solución de cada una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la intersección de todos ellos.

La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto convexo.

Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto vacío.

Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no acotado según su área sea o no finita.

Ejemplo:

Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

Si representamos en los mismos ejes de coordenadas cada una de las rectas que salen al considerar las anteriores desigualdades como ecuaciones e indicamos mediante una flecha el semiplano solución de cada una de ellas por separado, la solución será la región del plano sombreada en la figura que es la intersección de los semiplanos solución de cada inecuación. Para la representación rápida de las rectas, basta con encontrar los puntos donde cortan a los ejes de coordenadas y unirlos entres sí.

La recta:

x+y-1=0 corta al eje X (hacemos y=0) en (1, 0) y al eje Y (hacemos x=0) en (0, 1)

La recta :

2x+3y+4=0 corta a X en (-2, 0) y a Y en

La recta:

x-2y-2=0 corta a X en (2, 0) y a Y en (0, -1).

4. Puntos óptimos de funciones en conjuntos convexos.

Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma f(x, y) = ax + by.

Ha de observarse que para cada valor de "c", el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y) verifican f(x, y) = c es la recta de ecuación ax+by=c. Al variar "c", se obtiene rectas paralelas tales que todas tiene la misma pendiente -a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b).

Si los valores de x e y no están acotados, tampoco lo estará f(x, y), en cambio, si están restringidos a un cierto conjunto C, la función no podrá tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de valores máximo o mínimo (valores óptimos) de f(x, y) en C.

Se cumple el siguiente teorema: "Si una función lineal f(x, y)=ax+by tiene máximo o mínimo en un conjunto C convexo, toma este valor óptimo en un punto extremo".

En efecto, si el valor c fuera óptimo y correspondiera a un punto (x, y) interior al conjunto convexo C, siempre se podrían encontrar dos recta paralelas a ax+by+c=0, en las cuales f(x, y) tomaría valores mayores o menores que c y no podría ser c máximo o mínimo. Luego estos valores sólo pueden presentarse en los puntos extremos.

Usando este teorema, para encontrar los puntos óptimos de f(x, y) en el conjunto convexo C podemos proceder de dos formas:

  1. Estudiar los valores de la función en los vértices (si su número es reducido) y decidir en cuál de ellos hay máximo o mínimo. Tengamos en cuenta que si la función toma el mismo valor en dos vértices consecutivos, también toma ese valor en todos los puntos del segmento que une esos dos vértices.
  2. Representar las función en una gráfica para un valor cualquiera de c (se suele tomar c=0) y obtener, por simple inspección, desplazando la recta dibujada paralelamente a sí misma el punto óptimo. Este procedimiento, por ser gráfico es más impreciso a no ser que realicemos el dibujo con mucha precisión. Nosotros utilizaremos el método a) salvo que el número de vértices sea muy elevado.

Ejemplo:

Hallar el máximo y mínimo de la función f(x, y) = x-y en el recinto convexo solución del sistema de inecuaciones del último ejemplo.

Dado que la gráfica ya la tenemos (la reproducimos aquí poniendo nombre a los vértices del recinto que sólo son dos A y B pues el conjunto solución es abierto y no acotado):

El punto A es la solución del sistema de ecuaciones

luego

El punto B es la solución de:

siendo, pues

Los valores de la función en ambos vértices son:

La función presenta un máximo en el punto B pero no hay ningún valor mínimo al no ser el recinto acotado (luego veremos la discusión de estos problemas).

Cabe preguntarse ahora: ¿Siempre hay punto máximo o mínimo de una función lineal en dos variables en un recinto convexo?

La respuesta es que la solución puede ser única. Infinitas o ninguna. Veamos los casos que pueden darse:

5. Problemas de programación lineal con dos variables.

Un problema de programación lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal:

llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles. El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

El procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal en dos variables será, pues:

  1. Elegir las incógnitas.
  2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
  3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
  4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
  5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
  6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no es acotado).

Veamos a continuación una colección de ejemplos resueltos:

PROBLEMA #1  Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de soluciones factibles sería:

Siendo los vértices:

A intersección de r y t:

B intersección de s y t:

C intersección de r y s:

Siendo los valores de la función objetivo en ellos:

Alcanzándose el mínimo en el punto C.

PROBLEMA #2  Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Sean las variables de decisión:

x= n: de bicicletas de paseo vendidas.

y= n: de bicicletas de montaña vendidas.

Tabla de material empleado:

 

Acero

Aluminio

Paseo

1

3

Montaña

2

2

Función objetivo:

f(x, y)= 20.000x+15.000y      máxima.

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices del recinto (soluciones básicas):

A(0, 40)

B intersección de r y s:

C(40,0)

Valores de la función objetivo en los vértices:

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 Bolívares.

PROBLEMA #3  Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?

Sean las variables de decisión:

x= n: de plazas de fumadores.

y= n: de plazas de no fumadores.

La Función objetivo:

f(x, y)=10.000x+6.000y  máxima

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 60)

B intersección de r y s:

C(90, 0)

Valores de la función objetivo:

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares.

PROBLEMA #4 A una persona le tocan 10 millones de bolívares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

Sean las variables de decisión:

x= cantidad invertida en acciones A

y= cantidad invertida en acciones B

La función objetivo es:

Y las restricciones son:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices del recinto:

A intersección de u,t:

B intersección de r,u:

C intersección de r,s:

D intersección de s,t:

La función objetivo toma en ellos los valores:

Siendo la solución óptima invertir 6 millones de bolívares en acciones tipo A y 4 millones en acciones tipo B

PROBLEMA #5  Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

Sean las variables de decisión:

x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.

y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

La función objetivo es:

f(x, y)=5x+7y

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Vértices:

A(0, 100)

B intersección de s,t:

C intersección de r,t:

D (120, 0)

Siendo los valores de la función objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 bolívares.

PROBLEMA #6  Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas., contestar justificando las respuestas:

  1. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?
  2. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Sean las variables de decisión:

x= kg. de naranjas tipo A comprados.

y= kg. de naranjas tipo B comprados.

La función objetivo que da el beneficio es:

Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Y los vértices:

A(0, 625)

B intersección de r,s:

C(700, 0)

Y en ellos la función objetivo toma los valores:

Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500  kgs. de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 6.600 bolívares

PROBLEMA #7    Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

  1. Sean las variables de decisión:

    x= número de  trajes.

    y= número de vestidos

    a= precio común del traje y el vestido.

    Función objetivo:

    Restricciones:

    Zona de soluciones factibles:

    Vértices:

    A(0, 40)

    B intersección de r y s:

    C(40, 0)

    Los valores de la función objetivo son:

    El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

    PROBLEMA #8   Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

  2. Sean las variables de decisión:

    x= n: de viviendas construidas tipo A

    y= n: de viviendas construidas tipo B.

    La función objetivo es:

    Las restricciones son:

    La zona de soluciones factibles queda, pues:

    Siendo los vértices:

    A  intersección de r,s:

    B intersección de r,t:

    C (0, 0)

    Y la función objetivo toma los valores:

    Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio máximo de 130 millones de bolívares.

    PROBLEMA #9  Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.

    1. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
    2. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá

a) Sean las variables de decisión:

x= cantidad invertida en acciones tipo A

y= cantidad invertida en acciones tipo B

Las restricciones son:

Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente gráfica:

b) La función de beneficios es:

Y los vértices de la zona sombreada son:

A intersección de r,t:

B intersección de t,u:

C intersección de s,u, o sea C(7, 3)

D(7, 0)

E(2, 0)

Los valores de f en esos puntos son:

Ha de invertir, pues 5 millones de bolívares en A y 5 millones en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones, o sea 1.050.000 bolívares.

PROBLEMA #10    Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

Sean las variables de decisión:

X= número de barriles comprados de crudo ligero.

Y= número de barriles comprados de crudo pesado.

La tabla de producción de cada producto con arreglo al tipo de crudo es:

 

G

C

T

Ligero

0,3

0,2

0,3

Pesado

0,3

0,4

0,2

La función objetivo que hay que minimizar es:

f(x, y)=35x+30y

Las restricciones:

Y la zona de soluciones factibles:

Los vértices son:

A(0, 3000000)

B intersección de r,s:

C(4000000, 0)

Y en ellos la función objetivo presenta los valores:

Siendo la solución de mínimo coste la compra de 3.000.000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo pesado para un coste de 90.000.000 dólares.

PROBLEMA #11   La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de 2.700 Bs. y el de una silla 2.100Bs.  LA MUNDIAL S.A.  estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400 Bs. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla  necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A.  fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas.

Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

Sean las variables de decisión:

x= n: de soldados fabricados semanalmente.

y= n: de trenes fabricados semanalmente.

La función a maximizar es:

La tabla de horas de trabajo:

 

Carpintería

Acabado

Soldados

1

2

Trenes

1

1

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices:

A(0, 80)

B intersección de r,s:

C intersección de s,t:

D(40, 0).

En los que la función objetivo vale:

Debiendo fabricar 20 mesas y 60 sillas para un beneficio máximo de 18.000 Bs.

PROBLEMA #12    Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es es doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

Sean las variables de decisión:

x= número de yogures de limón producidos.

y= número de yogures de fresa producidos.

a= coste de producción de un yogurt de limón.

La función a minimizar es:

f(x, y)=ax+2ay

Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices:

A(0, 45000)

B(0, 30000)

C intersección de r y s:

En los que la función objetivo toma los valores:

Hay que fabricar, pues, 10.000 yogures de limón y 20.000 yogures de fresa para un costo mínimo de 50.000a bolívares.

PROBLEMA #13    Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de Bs. .y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

Sean las variables de decisión:

x= número de camiones fabricados.

y= número de autos fabricados.

La función a maximizar es:

f(x, y)=6x+3y

La tabla de días-operario para cada nave es:

 

Días-operario (camión)

Días-operario (auto)

Nave A

7

2

Nave B

3

3

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices:

A(0, 90)

B intersección de r,s:

En los que la función objetivo toma los valores:

Hay que fabricar 24 camiones y 66 automoviles para un beneficio máximo de 342 millones de bolívares.

PROBLEMA #14   Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C.

  1. Si se venden las tartas T1 a 1.000 bolívares la unidad y las T2 a 2.300 bolívares. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
  2. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 Bs. ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

a) Sean las variables de decisión:

x= número de tartas T1

y= número de tartas T2

La función objetivo es:

f(x, y)=1000x+2300y

La tabla de contingencia es:

 

Ingrediente A

Ingrediente B

Ingrediente C

Tarta T1

1

1

2

Tarta T2

5

2

1

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 30)

B intersección de r.s:

C intersección de s,t:

D (75, 0)

Valores de la función objetivo:

Hay que fabricar 50 tartas T1 y 20 tartas T2 para un beneficio máximo de 96.000 Bs.

 b) Llamemos ahora p al nuevo precio de la tarta T2. La función objetivo es entonces:

f(x, y)=1500x+py

Siendo iguales las restricciones.

Si una solución óptima consiste en fabricar 60 tartas T1 y 15 T2, se tendrá que:

f(60, 15)=f(p)=1500.60+15p es máximo

Para los puntos A, B, C y D anteriores:

Se ha de cumplir, el el punto (60, 15) ha de ser máximo que:

El menor valor que cumple esta condición es p=3000 Bs. y con él el beneficio sería:

    Bolívares

PROBLEMA #15   Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ?Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

Sean las Variables de decisión:

x= número de chaquetas fabricadas.

y= número de pantalones fabricados.

Función objetivo:

Tabla de uso de las máquinas:

 

Cortar

Coser

Teñir

Chaqueta

1

3

1

Pantalón

1

1

-

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 7)

B intersección de s,t:

C intersección de r,s:

D (3,0)

Valores de la función objetivo:

Como el máximo se alcanza para valores no enteros y no se puede fabricar un número no entero de chaquetas ni pantalones tomamos como solución aproximada 2 chaquetas y 5 pantalones lo cual sería exacto cambiando la restricción s por y obteniendo con ello un beneficio de 41 euros.

PROBLEMA #16  Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3.125 Bolívares, se pide:

  1. Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta.
  2. Acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál el la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?

a) Sean las variables de decisión:

x= litros comprados de aceite C

y= litros comprados de aceite D

Las restricciones del problema son:

Y la zona mediante la cual podemos acogernos a la oferta es la representada por cada uno de los puntos de la parte sombreada en la siguiente gráfica.

b) La mínima cantidad de aceite D que debemos comprar acogiéndonos a la oferta (punto más bajo de la zona) es el punto intersección de las rectas r,t:

La máxima cantidad de aceite C para acogernos a la oferta (punto más a la derecha de la zona) es la intersección de las rectas t,u:

Conclusión, la mínima cantidad de D es 2 litros y la máxima de C 10 litros.

PROBLEMA #17  La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de bolívares, y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de bolívares ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

Sean las variables de decisión:

x= autos vendidos del modelo A

y= autos vendidos del modelo B

Función objetivo:

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A intersección de s,t:

B Intersección de r,s:

C(20, 0)

D(4, 0)

Valores de la función:

Por lo cual se han de vender 20 autos modelo A y 10 autos modelo B para un beneficio máximo de 50 millones de bolívares.

PROBLEMA #18   En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo de explotación son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros.

  1. Representar el conjunto factible.
  2. Calcular el beneficio máximo.

a) las variables de decisión son:

x = número de hectáreas del cultivo A

y = número de hectáreas del cultivo B

 La función objetivo es:

Siendo:

Las restricciones son:

Y el conjunto factible es:

Siendo dicho conjunto el segmento de la recta r comprendido entre los puntos A (intersección de r,s) y B(intersección de r,t)

 

Valores de la función objetivo en A y B:

Obteniendo el máximo beneficio para 10 Ha de tipo A y 15 de tipo B, siendo entonces el beneficio de 650.000 euros.

PROBLEMA #19  Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3 y ;    8 x + y ; y x - 3 ; x 0; y 0
a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices.
b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(
x,y) = 6x + 4y alcanza el valor máximo y calcular dicho valor.

a ) Hay que dibujar la región factible correspondiente. Para ello vamos a representar las rectas:

x - y = - 3 ; x + y = 8 ; x - y = 3

La región factible es la determinada por los vértices O, A, B, C y D.

Las coordenadas de los vértices son: A(3,0) ; B(5.5, 2.5) ; C(2.5, 5.5) ; D(0,3) y O(0,0)

b) Para determinar dónde la función objetivo F(x,y) = 6x + 4y alcanza su máximo, calculamos los valores que toma en los vértices:

F(A) = 18 ; F(B) = 43 ; F(C) = 37 ; F(D) = 12 ; F(O) = 0.

Luego la función alcanza su máximo en el vértice B y su valor es 43.

PROBLEMA #20  Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 Bs/kg y el precio del rape es de 1.500 Bs/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?

Sean las variables de decisión:

x = número de toneladas de merluza
y = número de toneladas de rape

Del enunciado deducimos las restricciones:

La función objetivo que da el beneficio en miles de pesetas y que hay que maximizar viene dada por:
f(x,y) = 1000x + 1500y

Representando las rectas: x = 2000, y = 2000 , x + y = 3000 correspondientes a las fronteras de las restricciones obtenemos la región factible:

Donde los vértices obtenidos son:
A(2000,0) ; B(2000, 1000) ; C(1000, 2000) , D(0,2000) y O(0,0)

Al sustituir sus coordenadas en la función objetivo f resulta :

f(A) = 2000 millones de ptas. ; f(B) = 3500 millones de pesetas; f(C) = 4000 millones de pesetas ; f(D) = 3000 millones de pesetas y f(O)= 0 ptas.

La función objetivo alcanza su máximo en el vértice C, por lo que las cantidades a pescar son 1000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape.

PROBLEMA #21 Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:
La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos.

  1. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?
  2. ¿Qué mezcla hace q mínimo?

Sean x e y, respectivamente, los gramos de las pinturas A y B que aparecen en la mezcla. Traduzcamos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esas cantidades.

Además sabemos que : x 0 , y 0.

Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo:

Cantidad de pigmento de tipo p: Fp (x, y) = 0.3x + 0.5y
Cantidad de pigmento de tipo q: Fq (x, y) = 0.4x + 0.2y

La región factible es la que aparece en la imagen del margen.

Sus vértices son A(20,10) , B(40,10), C(60,30) y D(40,30)

a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para 60 gramos de la pintura A y 30 de la B:
Fp (40,30) = 0.3·40 + 0.5·30 = 27 ; Fp (20,10) = 11 ; Fp (40, 10) = 17; Fp (60, 30) = 33

b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para 20 gramos de la pintura A y 10 de la B:
Fq (40, 30) = 0.4·40 + 0.2·30 = 22; Fq (20, 10) = 10 ; Fq (40, 10) = 18 ; Fq (60, 30) = 30

PROBLEMA #22  Problema de la dieta  
En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo ?
El problema se llama así porque en sus orígenes consistió únicamente en determinar la dieta humana más económica.

En su forma industrial más corriente, el problema consiste en saber cómo mezclar de la forma más económica posible las materias primas que constituyen un producto de fórmula química conocida.

Podemos organizar la información mediante una tabla:

  Unidades Sustancia A Sustancia B Costo
Compuesto X x x 5x 1000x
Compuesto Y y 5y y 3000y
Total   15 15 1000x + 3000y

La función objetivo del costo total, f, si se emplean x kg del compuesto X e y kg del compuesto Y, es :

Z = f(x,y) = 1000x + 3000y

El conjunto de restricciones es: x 0 , y 0 ; x + 5y 15 ; 5x + y 15 .

Con estos datos representamos la región factible y las rectas de nivel de la función objetivo.

De todas las rectas de nivel que tocan a la región factible, hace que el costo Z sea mínimo la que pasa por el vértice A(2.5,2.5).

La solución óptima se obtiene comprando 2.5 unidades de X y 2.5 unidades de Y.

El costo total es : Z = f(2.5,2.5) = 1000·2.5 + 3000·2.5 = 10.000 bolívares

 

PROBLEMA #23  Considera el recinto de la figura en el que están incluidos todos los lados y todos los      vértices.

a) Escribe la inecuaciones que lo definen

b) Maximiza la función Z = x + y

a)

  (0,2) 2 = m·0 + n n = 2  
y = mx + n   y = - x + 2 x + y = 2
  (2,0) 0 = m·2 + 2 m = - 1  

Los puntos del recinto (por ejemplo, el (0,0) ) verifican x + y 2

Las inecuaciones que cumplen los puntos del recinto son:

x + y 2
- 2 x 2
- 1 y 2

b) Como la dirección de la función Z = x + y a maximizar es la misma que la del borde x + y = 2, resulta que esta recta es tal que deja todo el recinto a un lado, precisamente del lado que hace x + y 2 . Por tanto, el máximo de Z = x + y para (x,y) en el recinto se alcanza para cualquier punto de ese segmento del borde y tiene por valor 2.

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