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TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA

  Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:

1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia?

2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?

3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?

4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo?

NOTACIÓN KENDALL

 

Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos de llegada o de servicio.

En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, estan se mencionan a continuación:

Markov

Determinística

General

La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos pasados.

Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio.

La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra.

Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera, kendall, matemático británico elaboro una notación abreviada para describir en forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación Kendall un sistema de líneas de espera se designa como

A / B / C

En donde

A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada.

B = se sustituye por la letra que denote la distribución de servicio.

C = se sustituye por el entero positivo que denote el numero de canales de servicio. 

La notación kendall también utiliza M = Markoviano, D = determinística, G = General, por ejemplo un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, servicio determinístico y tres canales de servicio se identificará en notación Kendall como

M / D / 3

En todos los casos se supone que solo existe una sola línea de entrada.

Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y que deben de tomarse en consideración como por ejemplo:

El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresan al sistema de líneas de espera.

La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas de espera; por ejemplo, una por una o en forma de grupos.

Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera y no ingresan al sistema.

Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un tiempo en la fila.

Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila.

 Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes:

Modelo M / M / 1

Modelo M / M / S

Modelo M / G / 1

Modelo M / D / 1

MODELO  M / M / 1

WB01693_.gif (2469 bytes)

Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio Markoviano, y un servidor.

Llegadas aleatorias (M / M / 1)

En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.

 Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.

En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".

Si conocemos el numero promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del numero de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución de Poisson.

En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:

 

P[n llegadas en le tiempo T] =

Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora esta dada por:

P[6 llegadas en le tiempo en una hora] = = 0.0892

 Tiempo de servicio aleatorio (M / M / 1)

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.

La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio. Si la m es la tasa promedio de servicio entonces la distribución esta dada por:

F(t) = m e-m t

Es posible emplear esta formula para calcular la probabilidad de que el servicio sea mas prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa es modelo.

Características de operación

Para calcular las características de operación de una cola M / M / 1, primero debemos de observar que sí l = tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio de servicio, entonces l debe de ser menor que m . Si esto no ocurriera el promedio de llegadas sería superior al numero promedio que se atienden y el numero de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización. Este valor es la fracción promedio de que el sistema este ocupado, también sería el numero promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad tendríamos que:

Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0, puede obtenerse por medio de:

 

A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante:

 en donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de operación de las líneas de espera.

La primera característica de operación que calculamos es el numero promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. Entonces tenemos que:

Con estos valores obtenidos podemos calcular el numero promedio de unidades que esperan ser atendidas, Lq. Dado que L es el numero de unidades que están esperando o están siendo atendidas, y r es el numero promedio de unidades que están siendo atendidas en algún momento dado entonces:

L = Lq + r

 A partir de esto es fácil observar que

Lq = L - r

O también podríamos decir que

Ahora examinaremos el tiempo de espera. Utilizaremos W para representar el tiempo promedio o esperado que una unidad se encuentra en el sistema. Para encontrar W, observaremos que se L el numero esperado de unidades de en le sistema y l es el numero promedio de unidades que llegan para ser atendidas por periodo, entonces el tiempo promedio de cualquier unidad que llega debe estar en le sistema está dado por:

W = tiempo promedio de una unidad en el sistema

De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida, Wq, esta dado por:

En la siguiente figura se representa este modelo.

 

Ejercicio.

A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar un análisis de esta línea de espera.

Datos

l = 20 unidades por hora

m = 30 unidades por hora

Con los datos anteriores podemos calcular la probabilidad de que el sistema esté ocupado:

Pw = 20 / 30 = 2 /3

r = Pw

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté ocupado:

Po = 1 - r = 1 / 3

 El numero esperado de unidades en el sistema quedará definido por: 

= 2 Unidades

El numero esperado de unidades que esperan ser atendidas quedará definido por: 

 Entonces en promedio habrá 4 / 3 de unidades esperando ser atendidas y 2 / 3 de unidad siendo atendida.

    de hora

W = 6 minutos

 De manera similar, el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida estará definido por:

   de hora

Wq = 4 minutos

MODELO  M / M / S

Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.

El cálculo de las características de la línea de espera para el modelo M / M / S es lago mas complicado que los cálculos para el caso de canal único, y dado que primordialmente nos interesa las implicaciones de estas características mas que las formulas necesarias para calcularlos, nos apoyaremos en le uso de tablas elaboradas a partir de estas formulas para hacer los cálculos. 

 Características de operación.

En el modelo M / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los S canales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l , pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto de puede representar como: 

P(Sistema ocupado) =

 Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

P(Sistema ocupado) =

En donde Po estará representado por

 Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. En el modelo M / M / S, al igual que el modelo M / M / 1, se tiene que L = Lq + r, pero aquí utilizaremos el valor P(sistema ocupado) para calcular Lq:

Lq = P(sistema ocupado) x

Ahora calcularemos el valor L

Lq = P(sistema ocupado) x

En el caso de M / M / S, al igual que en el modelo M / M / 1, W = L / l y Wq = Lq / l , por ello se tiene que

En la siguiente figura se representa este modelo.

Ejercicio.

Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de servicio con tasas promedio de servicio m = 6 y una tasa de llegada de l = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5.

Datos

m = 6

l = 24

S = 5

Entonces tenemos que

Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema, la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de S y de r .

Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = 0.0130, la probabilidad de que el sistema este ocupado será P(sistema ocupado) = 0.5547, utilizando este valor obtenemos que: 

Unidades 

L = 2.2188 + 4 = 6.2188 unidades 

Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma:

 

MODELO  M / G / 1

Descripción.

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.

En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.

La razón por la que podemos considerar el caso M / G / 1 es que las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el valor de L. Para calcular el valor de Lq debemos de conocer le valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de servicio no es posible determinar las características de operación.

Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse formula para el valor de Lq a partir de la siguiente ecuación.

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

MODELO  M / D / 1

Descripción.

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera.

En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación: 

Todas las demás características de operación pueden determinarse a partir de este valor. Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

EJERCICIOS

WB01693_.gif (2469 bytes)

Problema A.

Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias.

Datos

l = 20 / 8 = 2.5 cartas/hora

m = (1 / 20 min)(60 min/ 1 hora) = 3 cartas/hora

 

La tasa de utilización de la secretaria estará definida por:

El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta se deducirá de la siguiente manera:

horas

Ahora el numero promedio de cartas que estarán en la línea de espera:

 

Si deseáramos conocer la probabilidad de que a la secretaria tenga mas de cinco cartas que mecanografiar, se determinaría de la siguiente manera:

 

K

0

0.834

1

0.694

2

0.578

3

0.482

4

0.401

5

0.334

6

0.279

 Problema B.

Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar:

Datos

l = 1 / 6 = 0.167 perros/min

m = 1 / 3 = 0.34 perros/min

La probabilidad de que Sam este de ocioso definirá de la siguiente manera:

Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado.

El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados

El numero promedio de perros que esperan a ser vacunados.

 Problema C.

Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación.

Datos

l = 2 llamadas/minutos

m = (1 / 20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto

La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá:

El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador

El numero de llamadas que esperan ser contestadas

Problema D.

Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos.

Datos

l = (4 / 10) = 0.4 c/min

m = (1 /2 ) = 0.5 c/min

El numero promedio de gente en línea se definirá de la forma siguiente:

personas

 

El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos

minutos

La proporción de tiempo que el servidor está ocupado

Problema E.

Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de máquinas que ocurren con promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. 

Datos

l= 3 repar. /día

m = 8 repar. /día 

La tasa de utilización de este sistema se encontrará de la siguiente forma:

El tiempo promedio de descompostura para cada máquina que está descompuesta

Las máquinas que están esperando a ser reparadas el cualquier momento dado

La probabilidad de que haya una máquina en el sistema, dos, tres o más máquinas en el sistema. 

K

0

0.375

1

0.140

2

0.052

3

0.019

4

0.007

5

0.002

 

Problema F.

El Barry’s Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día del negocio mas pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, Barry’s estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por hora, todo el día sábado. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano, él calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos. Este ejemplo se tiene una línea de espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de Poisson y tiempos exponenciales de servicio.

Datos

l = 20 automóvil /hora

m = (1 / 2 min)(60 min) = 30 automóvil / hora

El numero promedio de automóviles en la línea se definirá de la siguiente manera:

El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado

El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio

La tasa de utilización del lavado de automóviles

La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema

Problema G.

Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinema I , II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. La llegadas en un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora.

  1. Encontrar el numero promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto

  2. Que porcentaje del tiempo esta ocupado el cajero.

  3. Cual es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.

  4. Cual es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla.

  5. Cual es la probabilidad de que haya mas de dos personas en la cola.

 

Problema H.

Kamal’s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catalogo en le cual el empleado toma las ordenes por teléfono: Si el empleado esta ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales.

Al empleado se le pagan a 5 pesos la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden.

  1. Cual es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las ordenes
  2. Cual es el numero promedio de llamadores que esperan para colocar la orden.
  3. La empresa esta considerando añadir un segundo empleado para tomar las llamadas. La tienda pude pagar a esa persona 5 dólares la hora.¿ Debe de contratar otro empleado?

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