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Sistemas de inventarios

 

Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones.

Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su "política de inventarios", es decir, cuándo y cómo se reabastece?. En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administración científica del inventario". En particular, ellos

  1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios.
  2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
  3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.

MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT

FUNDAMENTOS

 

Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa.

Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:

La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta.

En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.  

Símbolos

Q = Cantidad optima a pedir

Im = Inventario Máximo

t = Periodo entre pedidos

T = Periodo de Planeación

En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica pedida.

Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero.

El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo:

Costo unitario del producto (C1)

Costo de ordenar una compra (C2)

Costo de mantener un producto en almacén (C3)

El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera:

Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo]

El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera siguiente:

Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar. 

ANÁLISIS DE ECUACIONES.

 

Costo unitario por periodo.

El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a pedir.

C1 Q

Costo de ordenar una compra.

Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra esta definido por:

C2

Costo de mantener el inventario por periodo.

El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de mantenimiento del inventario por periodo es:

Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación:

El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:

Nota: La demanda del articulo en un periodo de planeación se define con la letra D.

El numero de periodos se expresa de la manera siguiente:

Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el costo de un periodo por el numero de interperiodos (t) que contenga el periodo de planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación:

Costo Total = Costo (Q*)t

Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio de la siguiente ecuación:

Cuando los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un punto óptimo(de costo mínimo).

 

Una forma de determinar la cantidad optima a pedir es suponer diversos valores de Q y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un procedimiento mas sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con respecto a Q e igualar la derivada a cero.

Al resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a pedir.

Q =

Esta ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.

Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de compra.

EJERCICIO

 

Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar:

La cantidad optima pedida

El costo total por año

El numero de pedidos por año

El tiempo entre pedidos

Datos

C1= $ 1.00

C2 = $ 400.00

C3 = $ 1.20

La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 Unidades

El costo total estará determinado por:

Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año

El numero de pedidos por año es

N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año

 El tiempo entre pedidos es

 t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años

 

MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT

FUNDAMENTOS

El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones:

La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante.

En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente esquema. 

 

Q = Cantidad optima a pedir

S = Cantidad de unidades agotadas

Im = Inventario Máximo

t = Periodo entre pedidos

T = Periodo de Planeación

t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario

t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.

Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la perdida de ventas.

En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un periodo.

Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo] 

ANÁLISIS DE ECUACIONES

El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante.

Para determinar el tiempo t1, el inventario máximo y el tiempo t2 en función de la cantidad optima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el siguiente proceso.

El inventario máximo estará definido por:

Im = Q – S

Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de triángulos: 

Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden representarse de la siguiente forma.

Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuación del costo por periodo tenemos.

Multiplicando el costo de un periodo por el numero total de interperiodos que tiene el periodo de planeación obtenemos el costo total.

Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se realiza una operación de derivación parcial con respecto a cada una de estas variables.

El resultado de estas operaciones nos da como resultado.

Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de compra.

 

 EJERCICIO

Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar:

La cantidad optima pedida

El costo total por año

El numero de pedidos por año

El tiempo entre pedidos

Datos

C1= $ 1.00

C2 = $ 400.00

C3 = $ 1.20

C4 = $ 5.00

La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 Unidades

El costo total estará determinado por:

=  747 Unidades 

El numero de pedidos por año es

  = 4.66

El tiempo entre pedidos es

  =0.215

 

MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT

FUNDAMENTOS

 

Las suposiciones de este modelo son las siguientes.

La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo(la tasa se reemplazo es finita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).

Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de compra sin déficit.

En el siguiente esquema se representa este modelo.

Q = Cantidad optima a producir

R = Tasa de manufacturación

Im = Inventario Máximo

t = Periodo entre tandas de producción

T = Periodo de Planeación

t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible

t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario

El costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por

El tiempo entre tandas de producción estará definido por

Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo por periodo es el tiempo de manufacturación t1 multiplicado por la tasa de acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación R menos la tasa de demanda D, obteniendo como resultado:

Im= t1(R - D)

El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q unidades:

Por consiguiente el inventario máximo estará definido por:

Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:

Para determinar el costo total por el periodo de planeación se procederá a multiplicar el costo por periodo por el numero de tandas de producción.

Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuación y se iguala con cero.

En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación:

Esta cantidad optima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción.

Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de manufacturación.

EJERCICIO

La demanda de un articulo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese articulo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00,

=  4 470 Unidades

El costo total anual es

=  $ 40, 026

El inventario máximo estaría determinado por:

=  2 235 Unidades

MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT

FUNDAMENTOS

 

Las suposiciones para este modelo son las siguientes:

La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.

 

  

Q = Cantidad optima a pedir

S = Cantidad de unidades agotadas

Im = Inventario Máximo

t = Periodo entre tandas de producción

T = Periodo de Planeación

t1 t4= Tiempo de manufacturación

t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.

El costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación:

Por definición tenemos

Otra manera de representar el costo de producción para un periodo tenemos. 

Multiplicando la ecuación anterior por el numero de periodos de producción tenemos el costo total para el periodo de planeación:

Para determinar la cantidad optima Q se obtienen las derivadas parciales con respecto a Q y a S.

Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:

Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de manufacturación.

EJERCICIO

La demanda de un articulo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese articulo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por año.

Datos

D = 18, 000 Unidades por año

R = 3,000 por mes

C1 = $ 2.00

C2 = $ 500.00

C3 = $ 0.15 por mes

C4 = $ 20.00 por año

La cantidad optima estará definida por:

= 4670 Unidades 

 Para calcular el costo anual primero se deben calcular el numero de unidades agotadas.

 

193 Unidades

El costo total quedara definido por

Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeación.

MODELO DE DESCUENTO EN TODAS  LAS UNIDADES

FUNDAMENTOS

 

Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos.

Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales mas bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente gráfica se representa este modelo. 

  

Ni = Cantidades a pedir

Costoi = Costos de adquirir la cantidad Ni

En este modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una empresa distribuye artículos, sus precios son los siguientes:

 

De

A

Costo Unitario

0

10, 000

$ 5.00

10, 001

20,000

$4.50

20, 001

30, 000

$3.00

30, 001

En adelante

$2.00

Según estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas tendrán un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001 y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.

En la siguiente gráfica se presentan los datos antes descritos. 

 

Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos.

Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente.

Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro.

Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo.

Pasos para la aplicación de este modelo.

Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica en donde se representa este modelo.  

 

 PASO 1.

El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos con que se cuentan.

Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3, C4) de los descuentos.

Q = Cantidad Optima

D = Demanda del artículo.

C1 = Costo unitario del artículo.

C2 = Costo de ordenar un pedido.

i = Porcentaje sobre el precio del artículo por mantenimiento en inventario. 

Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacén adicional, entonces la ecuación que definida de la siguiente forma:

En donde C3 + iC1j será el costo total de mantener en almacén. 

PASO 2. 

El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus respectivos niveles de precio(Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará como un valor optimo. De igual manera se realizará un a comparación entre Q2 y el intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos.

En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad optima estará definida por el limite inferior del intervalo. 

 

En la gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el valor de Q2 será su limite inferior, o sea, Q2 = N1.

PASO 3.

El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores óptimos obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuación. 

PASO 4. 

El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad optima a pedir según los costos estimados en el planteamiento del problema.

 

 Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada uno de los pasos anteriormente mencionados.

EJERCICIO.

Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes características:

Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades

Costo de procesar una orden $ 32.00

Intereses anuales, impuestos y seguros como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 20 %.

El esquema de precios es el siguiente:

 

Cantidad

Precio

0 < Q < 1, 000

$ 3.50

1, 000 < Q < 2, 000

$ 2.95

2, 000 < Q

$ 2.00

No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.

RESOLUCIÓN.

Datos.

D = 10, 000 Unidades

C2 = $ 32.00

C11 = $ 3.50

C12 = $ 2.95

C13 = $ 2.00

i = 20 % 

Nota: Cabe hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén esta definido por C3 = iC1j.

Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica. 

 

 Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.

PASO 1.

Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos proporcionados.

Para C11 = $ 3.50 tenemos:

= 956.18

Para C12 = $ 2.95 tenemos:

= 1041.51

Para C13 = $ 2.00 tenemos:

= 1264.91

Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que se encuentran dentro del intervalo correcto.

Cantidad

Consideración

0 < Q1 = 956.18 < 1, 000

Ö

1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000

Ö

2, 000 < Q3 = 1264.91

X

Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.

Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente gráfica.

 

 PASO 3.

Ahora procederemos a determinar la costo total de los valores óptimos obtenidos anteriormente.

El costo total para el primer valor optimo obtenido es (Q1 = 956.18):

 

= $ 35, 669.32

El costo total para el segundo valor optimo obtenido es (Q2 = 1041.51):

= $ 30, 114.48

 

El costo total para el segundo valor optimo obtenido es(Q3 = 2000):

= $ 20, 560.00 

PASO 4.

Ahora solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente. Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima a ordenar es de 2,000 unidades.

En la siguiente gráfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de los costos totales y la determinación del menor costo.  

 

 

Como se puede ver en la gráfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades.

Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.

MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES

FUNDAMENTOS

 

Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos la siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de cierto producto.

 

De

A

Costo Unitario

0

10, 000

C11

10, 001

20,000

C12

20, 001

30, 000

C13

30, 001

En adelante

C14

 

En la siguiente gráfica se presentas los costos unitarios de este producto. 

  

Para determinar el costo de 25 000 unidades se tomarán 10 000 unidades a un costo de C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a un costo de C13.

Se toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en comparación al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida.

Por consiguiente el costo de 25 000 unidades será:

Costo = C11(10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000)

Para el modelo de descuentos en todas la unidades estaría definido de la siguiente manera:

Costo = C13(25 000)

En la siguiente gráfica se presentan los costos que nos representaría adquirir una cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna cantidad que se encontrase entre el intervalo de N0 y N1 la línea de costo estaría definida de la siguiente manera: 

 

 Si la cantidad a adquirir sobrepasará el intervalo de N0 y N1, y se ubicará ahora entre el intervalo de N1 y N2 la línea de costo estará representada por:

 

Esto se realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la siguiente gráfica. 

 

Ahora podemos concluir que el costo no se incrementa linealmente, sino que toma diversos estados en relación a la cantidad requerida.

En este modelo se deberá determinar la cantidad optima a pedir en base a los costos unitarios con los que se cuenten, es decir, se determinará la cantidad optima para cada costo unitario.

Es necesario también definir el costo de adquirir una cantidad Nj, es se realiza mediante la siguiente ecuación.

Para adquirir una cantidad N3 el costo de esta se le deberá sumar los costos anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido a las bases en las que se fundamenta el modelo anteriormente explicadas.

El costo optimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación.

El costo total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente ecuación.

Si a esta ecuación la derivamos con respecto a Q obtendremos la ecuación para determinar la cantidad optima a pedir.

En ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacén adicional, entonces la ecuación es la siguiente:

En donde C3 + iCj será el costo total de almacén. 

Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada uno de los pasos anteriormente mencionados.

Ejercicio

Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes características:

Uso estimado anual a tasa constante 120, 000 unidades

Costo de procesar una orden $ 800.00

Intereses anuales, impuestos y seguros como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 10 %.

El costo de mantener es de $ 6.00.

El esquema de precios es el siguiente:

Cantidad

Precio

0 < Q < 10, 000

$ 6.00

10, 000 <= Q < 30, 000

$ 5.80

30, 000 <= Q

$ 5.70

 RESOLUCIÓN

Datos.

D = 120 000 Unidades

C2 = $ 800.00

i = 10 %

C3 = $ 6.00

La siguiente gráfica nos representa la estructura de precios del problema. 

Para desarrollar mejor este modelo, se realizará una tabla la cual contendrá datos referentes del problema que se analiza.

La tabla se presentará de la siguiente manera: 

J

Cj

Nj

V(Nj)

V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = Intervalos

Cj = Precio unitario para el intervalo j

Nj = Cantidad para el periodo j.

V(Nj) = Costo de Nj unidades.

V(Q) = Costo de Q unidades

Ahora procederemos a iniciar el proceso de resolución del problema. Encontraremos los costos de lotes para cada uno de los intervalos de productos.

 

V(N1) = C1(N1-N0) = 6(10,000 - 0) = 60, 000 

V(N2) = C2(N2- N1) = 60,000 + 5.80(30,000 – 10, 000) = 60,000+116, 000 = 176, 000

Nota. En el paso anterior se le suma el costo del lote anterior al costo actual, es decir, a 116 000 del costo del lote actual se le suma 60, 000 del costo anterior.

El costo optimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación.

V(Q1) = V(N0) + C1(Q –N0) = 0 + 6(Q - 0) = 6Q

V(Q2) = V(N1) + C2(Q –N1) = 60 000 + 5.80(Q – 10, 000) = 5.80 Q + 6 000

Ahora introduciremos los valores a la tabla quedando de la siguiente forma.

J

Cj

Nj

V(Nj)

V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)

1

$ 6.00

10, 000

60, 000

6Q

2

$ 5.80

30, 000

176, 000

5.80 Q + 6000

3

$ 5.70

 

 

 

La cantidad optima para los diferentes costos será: 

 

= 5 393.59 Unidades 

= 10 105.82 Unidades  

= 14 555.82 Unidades 

Los valores obtenidos los compararemos con sus respectivos intervalos.

Cantidad

Consideración

0 < Q1 = 5393.59 < 10, 000

Si

10, 000 <= Q2 = 10 105.82 < 30, 000

Si

30, 000 <= Q3 = 14 555.82

No

En base al análisis anterior tenemos que los costos para Q1 y Q2 son:

Costo Total (Q1) = $ 739 130.07

 

Costo Total (Q2) = $ 731 955.28

Ahora podemos concluir que lo optimo será pedir 10 105.82 Unidades.

RESTRICCIONES   DE ÁREA DE ALMACENAJE  E INVERSIÓN

FUNDAMENTOS

 

Existen ocasiones en donde se involucran otro tipo de variables con referencia a la cantidad optima a pedir, como por ejemplo el capital con que se cuente y el espacio para almacenar las unidades adquiridas. Cuando una empresa maneja varios tipos de productos vuelve complicado. La empresa debe de ajustar la cantidad optima a pedir para todos sus productos a las restricciones de capital y área de almacenaje.

Por ejemplo una empresa maneja tres productos A, B, C y debe de realizar pedidos de estos productos. El costo de estos pedidos no deben exceder al capital con que cuente la empresa y al espacio del almacén destinado para almacenar estos pedidos.

Para resolver este tipo de problemas podemos seguir este un sencillo algoritmo. 

PASO 1.

Calcular la cantidad optima para cada uno de los productos que maneje la empresa. (Qn)

PASO 2.

Evaluar si las cantidades optimas estimadas se encuentran dentro de las restricciones, es decir, determinar si la restricción es activa.

   (Restricción No activa)

  (Restricción Activa)

Cuando la restricción no es activa se pueden pedir la Qn unidades obtenidas. En caso contrario estas Qn se deben ajustar a las restricciones.

Una forma de ajustar las cantidades optimas a pedir a las restricciones es por Multiplicadores de Lagrange realizando un algoritmo recursivo en donde el resultado obtenido es aproximado con un cierto error de desviación.

Restricción No Activa

Cuando la restricción no es activa el coso total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente ecuación:

La cantidad optima se calculará con la siguiente ecuación:

Restricción Activa

Cuando la restricción es activa el costo total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente ecuación.

La cantidad optima se calculará con la siguiente ecuación:

l  = Valor Variable

ai = Área que ocupa un articulo i

Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada uno de los pasos anteriormente mencionados.

Ejercicio

Determine la cantidad optima a ordenar de cada uno de los productos que maneja una determinada empresa, la información sobre este problema se presenta a continuación.

 

Producto 1

Producto 2

Producto 3

Demanda

10, 000

8, 000

12, 000

Costo de Ordenar

$ 120

$ 150

$ 130

Costo de mantener

$ 5

$ 7

$ 6

Costo unitario

$ 25

$ 15

$ 30

Área que ocupa

0.5 m2

1.0 m2

1.2 m2

La empresa cuenta con un almacén de 1 500 m2, no tiene restricción sobre el capital a invertir.

Resolución.

Para desarrollar este problema aplicaremos el algoritmo antes descrito.

PASO 1.

Determinaremos las cantidades optimas para cada uno de los productos. 

Q1 = 692.82(Producto 1)

Q2 = 585.54(Producto 2)

Q3 = 721.11(Producto 3)

PASO 2.

Ahora evaluaremos si la restricción de área es activa o no, esto se realiza multiplicando la cantidad optima obtenida para cada producto por el área que ocupa cada producto.

Q1 = 692.82(0.5m2) =346.41

Q2 = 585.54(1.0m2) = 585.54

Q3 = 721.11(1.2m2) =865.33

El espacio total que ocupa pedir estas cantidades es:

Espacio total =1 797.28

Por lo tanto la restricción es activa, entonces se desarrollará el algoritmo recursivo para encontrar un intervalo donde se encuentre el valor de la restricción.

La cantidad optima se determinará por la siguiente ecuación.

 

El valor de l estará tomando diferentes valores hasta que se encuentre el intervalo antes mencionado. 

l

Q1

Q2

Q3

S Qiai

0.005

692.45(0.5m2)

585.12(1.0m2)

720.39(1.2m2)

1795.82

1

632.45(0.5m2)

516.39(1.0m2)

609.44(1.2m2)

1563.95

1.2

622.17(0.5m2)

505.29(1.0m2)

592.74(1.2m2)

1527.67

1.5

607.64(0.5m2)

489.89(1.0m2)

570.08(1.2m2)

1477.80

1.3664

613.98(0.5m2)

496.89(1.0m2)

579.85(1.2m2)

1499.39

 Como se puede apreciar el intervalo dentro de cual se encuentra 1 500 es 1.2 y 1.5.

Para determinar el valor exacto se realiza una interpolación, dando como resultado l =1.3664. las cantidades optimas para cada producto serán:

Q1 = 613.98 unidades

Q2 = 496.89 unidades

Q3 = 579.85 unidades

SISTEMA DE INVENTARIO Q - SISTEMA DE INVENTARIO P

INTRODUCCIÓN

 

Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su "política de inventarios", es decir, cuándo y cómo se reabastece?. En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administración científica del inventario". En particular, ellos  

1.     Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios.

2.     Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.

3.     Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.  

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE INVENTARIO

 

Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una vez según todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo). 

Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un sub-almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin mercancía. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas sobre la minimización de un a función de costo apropiada la cual balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.

Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero características básicas de un sistema de inventarios:

Parámetros económicos: estos parámetros incluyen los tipos siguientes:

 

a.    Costo fijo. Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.

b.    Precios de compra o costo de producción. Este parámetro de especial interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.

c.     Precio de venta. En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un criterio de maximización de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.

d.    Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el articulo se tiene en almacén.

 

Demanda. El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica, respectivamente:

 La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribución conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista). 

La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del período o unifórmente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario. 

Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas:

 

a.     Revisión continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos".

b.    Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.

 

Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.

 

Reabasto del almacén: aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y también con reprovisamiento de almacén.

 

Horizonte de Tiempo: el horizonte define el período sobre el cual el nivel de inventarios estará controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda.

 

Abastecimiento múltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple.

 

Número de artículos: Un sistema de inventarios puede comprender más de un articulo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

                                    SISTEMAS DE INVENTARIO 

 

Dos sistemas de inventario muy utilizados son el sistema de pedido de tamaño fijo y el sistema de pedido de intervalo fijo. Se designa como sistema Q al sistema de pedido de tamaño fijo, mientras que el sistema de pedido de intervalo fijo se designa como sistema P. La diferencia básica entre los dos consiste en que en el sistema Q se pide una cantidad fija a intervalos variables de tiempo y en el sistema P se ordena cantidad variable a intervalos fijos de tiempo.

Formulas para los sistemas P y Q.

Para determinar la cantidad pedida es:

El tiempo entre pedido es (IP intervalo entre pedidos):

Las existencias de seguridad (ES): 

ES para el sistema P se calcula de la siguiente forma ya que este sistema tiene como base el intervalo entre pedidos más el tiempo promedio de anticipación (IP + L), entonces ES queda:

Cantidad pedida = Q óptimo + existencias de seguridad -  inventario disponible –   unidades pedidas   + demanda promedio en el tiempo de anticipación

El costo total anual se calcula con la siguiente ecuación.

 

en donde:

C1 : es el Costo de una unidad

C2 : es el Costo de hacer una compra

C3 : es el Costo de almacenar

Dm : es la Demanda máxima

: es la Demanda promedio

t = tiempo entre pedidos

L= tiempo de anticipación

ES : son las existencias de seguridad

Cuando el sistema de inventario es determinístico y la tasa de demanda es constante, realmente hay poca diferencia entre los sistemas Q y P. Primero analizaremos el sistema Q con los siguientes datos.

Ejemplo

La de manda de un articulo particular es 18,000 unidades / año. El costo de almacenamiento por unidad es de $1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $400, el tiempo de anticipación (L) es de 20 días, el costo de una unidad es de $1. (Se supone 1 año = 250 días):

Para determinar la cantidad a pedir se hace lo siguiente: 

unidades

 El intervalo entre pedidos es:

1 año = 250 días

  días

La demanda diaria se saca de la siguiente forma. Como la demanda es de 18,000 por unidades por año y 1 año = 250 días, entonces: 

   unidades / día

 El tiempo de anticipación es L=20 días; por tanto el número de unidades que podrían requerirse durante el tiempo de anticipación es:

Demanda en el periodo de anticipación = D L , si el tiempo de anticipación es de 20 días y la demanda diaria es de 72 unidades / día, entonces la demanda en periodo de anticipación es 72(20)=1,440 unidades.

La representación gráfica de estas cantidades que se muestra en la figura 2-1 indica la siguiente regla de pedido: Verificar continuamente nivel de inventario, y cuando el nivel del inventario alcance 1440 unidades, se ordenan 3,465 unidades. 

 

Aplicando esta regla se obtiene un costo total anual de $22,156 sin permitir déficit.

= 18,000 + 2,078 + 2078 = $ 22,156 por año.

 Si se permite déficit el punto de pedido disminuye. Por ejemplo, puede suponerse que el tiempo de anticipación de 20 días y el numero de unidades agotadas de 747, el punto de pedido es

72(20) - 747 = 693 unidades

Si el tiempo de anticipación hubiera sido mayor que 48 días, el nivel (punto) de pedido sobrepasa el nivel de inventario. Por ejemplo, puede suponerse que el tiempo de anticipación del ejemplo 2-1 es 60 días en lugar de 20 días. Esto indicaría un punto de pedido de

60(72) = 4.320 unidades

Sin embargo, esto es imposible ya que la figura 2-1 indica que el nivel inventario nunca es mayor que 3,465 unidades. El valor de 4,320 unidades implica que cuando el número de unidades en inventario (disponible) y el número de unidades pedidas pero no recibidas es 4,320 unidades, entonces se hace un pedido de 3,465 unidades.

 

Ahora se discute un sistema P.

En el ejemplo anterior debería usarse un intervalo entre pedidos de 48 días ya que este es el intervalo óptimo indicado por un balance entre los costos de compra e inventario. Cualquier intervalo entre pedidos menor que 48 días ocasiona mayores costos de compra, y cualquier intervalo entre pedidos mayor que 48 días ocasiona déficit.  

      días 

 

El sistema P representado en la figura anterior   para los datos del ejemplo anterior indica la siguiente regla de pedido: determinar el nivel de inventario cada 48 días y en ese momento pedir una cantidad igual a Cantidad pedida = Q óptimo + existencias de seguridad - existencias disponibles - unidades pedidas + cantidad requerida para un período completo de anticipación. 

En este caso, el tamaño del pedido es igual a

3,465 + 0 – 1,440 - 0 + 72(20) = 3,465 unidades

Esta cantidad pedida debe ser la misma en cada punto de pedido ya que todas las componentes de la ecuación de la cantidad pedida son constantes debido a que el sistema es determinístico y la tasa de demanda es constante. Además, por las mismas causas los períodos entre pedidos (48 días) son iguales en ambos sistemas. Por consiguiente, los dos sistemas dan iguales resultados siempre que los sistemas sean determinísticos y la tasa de demanda sea constante.

Se presentan diferencias entre los dos sistemas cuando la demanda, el tiempo de anticipación, o ambos se vuelven probabilísticos.

Un enfoque para manejar sistemas probabilísticos de inventario es suponer un modelo de inventario basado en existencias de seguridad (existencias amortiguadoras). Las existencias de seguridad sirven de amortiguador para absorber las variaciones de la demanda y del tiempo de anticipación. También sirven como medio de regulación de las unidades agotadas. Este enfoque permite una aproximación razonable hacia una solución óptima. Es una aproximación ya que supone que las existencias de seguridad para el tiempo de anticipación y el intervalo entre pedidos son independientes. Obviamente, esta suposición no es correcta. 

Ahora podemos destacar que el sistema Q y el sistema P tienen algunas diferencias las cuales en ocasiones no son muy notorias. 

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