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PROBLEMAS RESUELTOS EN LA CLASE

1.- Problema de Planificación de Producción (probplanproduc.xls)

La empresa COMPAQ necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres. Actualmente COMPAQ tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. COMPAQ tiene el material y la Capacidad de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador.

Empleando sobretiempo del personal se pueden producir hasta 2500 computadores más a un costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$100 por período para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer COMPAQ su demanda a costo mínimo?

Modelo:

En este caso la decisión a tomar corresponde a la producción de computadores por trimestre. Como se puede fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos tipos

de producción en variables distintas. Además, se debe decidir en cada período cuantas unidades guardar

en inventario. Definamos las siguientes variables ( t = 1 : : : 4):

xt = producción en el período t en horario normal

yt = producción en el período t en sobretiempo

it = inventario al final del período t

De acuerdo a las variables definidas podemos formular el modelo completo considerando el balance trimestral entre lo producido, lo proveniente del período anterior en inventario y la demanda del

trimestre respectivo.

Min z = 2000(x1 + x2 + x3 + x4) + 2200(y1 + y2 + y3 + y4) + 100(i1 + i2 + i3)

Sujeto a las Restricciones

5000 + x1 + y1 = 7000 + i1

i1 + x2 + y2 = 15000 + i2

i2 + x3 + y3 = 10000 + i3

i3 + x4 + y4 = 8000                  

xt  £  10000  t

yt  £ 2500    t

xt; yt; it ³0  t

Para la formulación anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado en horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente ninguno de estos supuestos es correcto en la situación real, pero constituye una buena aproximación del problema.

2.- Problema de Planificación de Personal  (probplanpers.xls)

Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La

administración ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno.

El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día.

Las características de cada período son las siguientes:

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al día, y aquellas

que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar

a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?

Modelo:

En este caso podemos identificar como variable de decisión el número de enfermeras Ni que comienza

a trabajar en el turno "i" (i = 1 : : : 6). De esta forma, la función objetivo queda:

z = 50N1 + 40N2 + 40N3 + 40N4 + 50N5 + 50N6

Evidentemente, la función anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente

recurrir a una representación gráfica de los turnos:

De la gráfica anterior se observa que en cada turno trabajan las enfermeras que comenzaron en

dicho turno, pero también las que empezaron en el turno anterior. Por lo tanto, las restricciones de

personal mínimo por turno quedan:

N1 + N2 ³ 60

N2 + N3 ³ 50

N3 + N4 ³ 35

N4 + N5 ³ 55

N5 + N6 ³ 40

N6 + N1 ³ 25

Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo:

Ni  ³ 0  i 

3.- Problema de Mezcla (probmezcla.xls)

Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende

a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos

se preparan del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene

la refinería y deben cumplir las especificaciones que se presentan en la siguiente tabla:

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la refinería.

Modelo:

Para poder formular un modelo para el problema supondremos que no existen pérdidas en el proceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presión de vapor se pueden mezclar linealmente.

De acuerdo al supuesto anterior debemos definir variables que nos permitan controlar que proporción de cada tipo de petróleo se emplearía para fabricar cada tipo de gasolina, así:

xij = cantidad de petróleo refinado tipo i (i = 1; 2) para fabricar gasolina j (j = 1; 2)

Consideremos las variables anteriores en barriles, de modo de emplear las proporciones entregadas en el enunciado.

Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petróleo, la función objetivo se reduce a maximizar la diferencia entre ingresos y costos, es decir, las utilidades.

Max 12(x11 + x21) + 14(x12 + x22) - 8(x11 + x12) - 15(x21 + x22)

A continuación construimos las restricciones. Las restricciones respecto de inventario disponible y demanda de cada tipo de gasolina se explican por sí solas:

x11 + x12 £ 40000 (Inventario petróleo tipo 1)

x21 + x22 £ 60000 (Inventario petróleo tipo 2)

x11 + x21 ³ 50000 (Demanda mínima de gasolina tipo 1)

x11 + x21 £ 100000 (Demanda máxima de gasolina tipo 1)

x12 + x22 ³ 5000 (Demanda mínima de gasolina tipo 2)

x12 + x22 £ 20000 (Demanda máxima de gasolina tipo 2)

Las restricciones de presión de vapor y de octanaje mínimo deben ser normalizadas respecto de la

cantidad total fabricada, que no es necesariamente la cantidad máxima o mínima posible de fabricar.

25x11+15x21   £ 23 (Presión de vapor máxima gasolina tipo 1)

   x11+x21

25x12+15x22    £ 23 (Presión de vapor máxima gasolina tipo 2)

    x12+x22

87x11+98x21    ³  88 (Octanaje mínimo gasolina tipo 1)

   x11+x21

87x12+98x22    ³  88 (Octanaje mínimo gasolina tipo 2)  

   x12+x22

Finalmente, el modelo queda completo con las condiciones de signo: 

xij ³ 0    i x j

4.- SOLUCIÓN PROBLEMA DE MEZCLA DE GASOLINA (mezclagas.xls)

    (Resuelto en la clase del 18-06-2003)

Al efectuar el análisis de sensibilidad, incorporando el efecto de la publicidad sobre el incremento en la demanda de gasolina NORMAL y SUPER, se obtiene la siguiente solución aplicando SOLVER de Excel:

Al analizar los resultados del ingreso  de ambas tablas SOLVER, se observa que realizar la publicidad incrementan las ganancias en un  49,3 % al pasar de 11.166.667 Bs. a 16.680.000 Bs, lo cual justifica el gasto en publicidad ya que mejora sustancialmente las ganancias de SUNCO OIL.

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