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PROBLEMAS RESUELTOS EN LA CLASE

1.- Problema de Planificación de Producción (probplanproduc.xls)

La empresa COMPAQ necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres. Actualmente COMPAQ tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. COMPAQ tiene el material y la Capacidad de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador.

Empleando sobretiempo del personal se pueden producir hasta 2500 computadores más a un costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$100 por período para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer COMPAQ su demanda a costo mínimo?

Modelo:

En este caso la decisión a tomar corresponde a la producción de computadores por trimestre. Como se puede fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos tipos

de producción en variables distintas. Además, se debe decidir en cada período cuantas unidades guardar

en inventario. Definamos las siguientes variables ( t = 1 : : : 4):

xt = producción en el período t en horario normal

yt = producción en el período t en sobretiempo

it = inventario al final del período t

De acuerdo a las variables definidas podemos formular el modelo completo considerando el balance trimestral entre lo producido, lo proveniente del período anterior en inventario y la demanda del

trimestre respectivo.

Min z = 2000(x1 + x2 + x3 + x4) + 2200(y1 + y2 + y3 + y4) + 100(i1 + i2 + i3)

Sujeto a las Restricciones

5000 + x1 + y1 = 7000 + i1

i1 + x2 + y2 = 15000 + i2

i2 + x3 + y3 = 10000 + i3

i3 + x4 + y4 = 8000                  

xt  £  10000  t

yt  £ 2500    t

xt; yt; it ³0  t

Para la formulación anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado en horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente ninguno de estos supuestos es correcto en la situación real, pero constituye una buena aproximación del problema.

 

 

 

SOLUCION PROBLEMA PLANIFICACION DE LA PRODUCCION

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VARIABLES DE DECISIÓN

 

 

 

 

 

Limite  de

 

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

i1

i2

i3

Totales

Simbolo

la restriccion

restriccion  1

1

0

0

0

1

0

0

0

-1

0

0

2.000

=

2.000

restriccion  2

0

1

0

0

0

1

0

0

1

-1

0

15.000

=

15.000

restriccion  3

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

-1

10.000

=

10.000

restriccion  4

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

8.000

=

8.000

restriccion  5

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10.000

<=

10.000

restricción  6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10.000

<=

10.000

restricción  7

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

6.000

<=

10.000

restricción  8

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

2.250

<=

10.000

restricción  9

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

2.500

<=

2.500

restricción  10

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

2.500

<=

2.500

restricción  11

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

<=

2.500

restricción 12

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

<=

2.500

Funcion objetivo (Xi)

2.000

2.000

2.000

2.000

2.200

2.200

2.200

2.200

100

100

100

65.990.000

 

 

SOLUCION

10.000

8.400

6.000

2.250

2.500

2.500

0

0

10.500

6.400

0

  

 

 

 

2.- Problema de Planificación de Personal  (probplanpers.xls)

Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La

administración ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno.

El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día.

Las características de cada período son las siguientes:

HORA DEL DIA

Período

Número Mínimo

 

 

Enfermeras

2 AM - 6 AM

1

25

6 AM - 10 AM

2

60

10 AM - 2 PM

3

50

2 PM - 6 PM

4

35

6 PM - 10 PM

5

55

10 PM - 2 AM

6

40

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al día, y aquellas

que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar

a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?

Modelo:

En este caso podemos identificar como variable de decisión el número de enfermeras Ni que comienza

a trabajar en el turno "i" (i = 1 : : : 6). De esta forma, la función objetivo queda:

z = 50N1 + 40N2 + 40N3 + 40N4 + 50N5 + 50N6

Evidentemente, la función anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente

recurrir a una representación gráfica de los turnos:

De la gráfica anterior se observa que en cada turno trabajan las enfermeras que comenzaron en

dicho turno, pero también las que empezaron en el turno anterior. Por lo tanto, las restricciones de

personal mínimo por turno quedan:

N1 + N2 ³ 60

N2 + N3 ³ 50

N3 + N4 ³ 35

N4 + N5 ³ 55

N5 + N6 ³ 40

N6 + N1 ³ 25

Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo:

Ni  ³ 0  i 

 

 

SOLUCION PROBLEMA PLANIFICACION PERSONAL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VARIABLES DE DECISIÓN

 

 

Limite  de

 

N1

N2

N3

N4

N5

N6

Totales

Simbolo

la restriccion

restriccion  1

1,00

1,00

0,00

0,00

0,0

0,00

60,0

>=

60,0

restriccion  2

0,00

1,00

1,00

0,00

0,0

0,00

55,0

>=

50,0

restriccion  3

0,00

0,00

1,00

1,00

0,0

0,00

35,0

>=

35,0

restriccion  4

0,00

0,00

0,00

1,00

1,0

0,00

55,0

>=

55,0

restriccion  5

0,00

0,00

0,00

0,00

1,0

1,00

40,0

>=

40,0

restricción  6

1,00

0,00

0,00

0,00

0,0

1,00

25,0

>=

25,0

restricción  7

0,00

0,00

0,00

0,00

0,0

0,00

0,0

<=

0,0

restricción  8

0,00

0,00

0,00

0,00

0,0

0,00

0,0

<=

0,0

restricción  9

0,00

0,00

0,00

0,00

0,0

0,00

0,0

<=

0,0

restricción 10

0,00

0,00

0,00

0,00

0,0

0,00

0,0

<=

0,0

Funcion objetivo (Xi)

50,00

40,00

40,00

40,00

50,00

50,00

5.850,0

 

 

SOLUCION

5,0

55,0

0,0

35,0

20,0

20,0

  

 

 

  

3.- Problema de Mezcla (probmezcla.xls)

Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende

a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos

se preparan del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene

la refinería y deben cumplir las especificaciones que se presentan en la siguiente tabla:

 

Presión máxima

Octanaje

Demanda máxima

Entregas mínimas

 

de vapor

mínimo

[barril/semana]

[barril/semana]

REGULAR

23

88

100.000

50.000

EXTRA

23

93

20.000

5.000

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

 

Presión

Octanaje

Inventario

Costo

 

de vapor

 

[barril]

 [US$/barril]

NACIONAL

25

87

40.000

8

IMPORTADO

15

98

60.000

15

Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la refinería.

Modelo:

Para poder formular un modelo para el problema supondremos que no existen pérdidas en el proceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presión de vapor se pueden mezclar linealmente.

De acuerdo al supuesto anterior debemos definir variables que nos permitan controlar que proporción de cada tipo de petróleo se emplearía para fabricar cada tipo de gasolina, así:

xij = cantidad de petróleo refinado tipo i (i = 1; 2) para fabricar gasolina j (j = 1; 2)

Consideremos las variables anteriores en barriles, de modo de emplear las proporciones entregadas en el enunciado.

Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petróleo, la función objetivo se reduce a maximizar la diferencia entre ingresos y costos, es decir, las utilidades.

Max 12(x11 + x21) + 14(x12 + x22) - 8(x11 + x12) - 15(x21 + x22)

A continuación construimos las restricciones. Las restricciones respecto de inventario disponible y demanda de cada tipo de gasolina se explican por sí solas:

x11 + x12 £ 40000 (Inventario petróleo tipo 1)

x21 + x22 £ 60000 (Inventario petróleo tipo 2)

x11 + x21 ³ 50000 (Demanda mínima de gasolina tipo 1)

x11 + x21 £ 100000 (Demanda máxima de gasolina tipo 1)

x12 + x22 ³ 5000 (Demanda mínima de gasolina tipo 2)

x12 + x22 £ 20000 (Demanda máxima de gasolina tipo 2)

Las restricciones de presión de vapor y de octanaje mínimo deben ser normalizadas respecto de la

cantidad total fabricada, que no es necesariamente la cantidad máxima o mínima posible de fabricar.

 

25x11+15x21   £ 23 (Presión de vapor máxima gasolina tipo 1)

   x11+x21

 

25x12+15x22    £ 23 (Presión de vapor máxima gasolina tipo 2)

    x12+x22

 

87x11+98x21    ³  88 (Octanaje mínimo gasolina tipo 1)

   x11+x21

 

87x12+98x22    ³  88 (Octanaje mínimo gasolina tipo 2)  

   x12+x22

 

Finalmente, el modelo queda completo con las condiciones de signo: 

xij ³ 0    i x j

 

    SOLUCION PROBLEMA MEZCLA    
             
    VARIABLES DE DECISIÓN   Limite de la
  X11 X12 X21 X22 Totales Simbolo  restriccion 
restriccion  1 1,0 1,0 0,0 0,0 40.000 <= 40.000
restriccion  2 0,0 0,0 1,0 1,0 15.000 <= 60.000
restriccion  3 1,0 0,0 1,0 0,0 50.000 >= 50.000
restriccion  4 1,0 0,0 1,0 0,0 50.000 <= 100.000
restriccion  5 0,0 1,0 0,0 1,0 5.000 >= 5.000
restricción  6 0,0 1,0 0,0 1,0 5.000 <= 20.000
restricción  7 2,0 0,0 -8,0 0,0 -40.000 <= 0
restricción  8 0,0 2,0 0,0 -8,0 0 <= 0
restricción  9 -1,0 0,0 10,0 0,0 104.000 >= 0
restricción 10 0,0 -1,0 0,0 10,0 6.000 >= 0
Funcion objetivo (Xi) 4,0 6,0 -3,0 -1,0 125.000    
SOLUCION  36.000 4.000 14.000 1.000        

4.- SOLUCIÓN PROBLEMA DE MEZCLA DE GASOLINA (mezclagas.xls)

    (Resuelto en la clase del 18-06-2003)

La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER), cada una de ellas mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). Los precios de venta de cada barril de gasolina son 7.000 Bolívares y 6.000 bolívares, respectivamente. Por su parte, los precios de compra de los dos tipo de crudo son de 4.500 bolívares y 3.500 bolívares por barril, respectivamente.  Se pueden comprar hasta 5.000 barriles de cada crudo diarios. Los dos tipos de gasolina difieren en su indice de octano y en su contenido en azufre. La mezcla del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. La mezcla que se obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8 y a lo sumo un 2% de azufre. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de crudo son

Crudo LIVIANO:   Octano=12 Azufre=0.5%

Crudo PESADO:  Octano=6   Azufre=2%

La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400 Bolívares, y larefinería de Sunco puede producir diariamente, hasta 9.000 barriles de gasolina. Los clientes de Sunco actualmente demandan 3.000 barriles de la gasolina Normal y 2.000 de la gasolina Super. Sin embargo, Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad, de modo que por cada bolívar invertido en la publicidad de cada tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0,1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 bolívares en la gasolina Super, aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0,1=100 barriles). Formular el problema de programación lineal que permita a SUNCO OIL maximizar sus ganancias diarias y resolver el mismo aplicando el programa SOLVER de EXCEL.

  SOLUCION PROBLEMA CLASE DEL 18 JUNIO 2003
               
        Limite de la
  x11  x12 x21 x22 Totales Simbolo  restriccion 
restriccion  1 1,000 1,000 1,000 1,000 5000,0 <= 9.000,0
restriccion  2 1,000 1,000 0,000 0,000 3000,0 <= 3.000,0
restriccion  3 0,000 0,000 1,000 1,000 2000,0 <= 2.000,0
restriccion  4 1,000 0,000 1,000 0,000 2333,3 <= 5.000,0
restriccion  5 0,000 1,000 0,000 1,000 2666,7 <= 5.000,0
restricción  6 0,015 0,000 0,000 0,000 15,0 >= 0,0
restricción  7 0,000 0,000 0,005 -0,010 0,0 >= 0,0
restricción  8 2,000 -1,000 0,000 0,000 0,0 >= 0,0
restricción  9 0,000 0,000 1,000 -2,000 0,0 >= 0,0
restricción 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0 <= 0,0
Funcion objetivo (Xi) 2.100 3.100 1.100 2.100 11.166.667    
SOLUCION  1000,0 2000,0 1333,3 666,7        

Al efectuar el análisis de sensibilidad, incorporando el efecto de la publicidad sobre el incremento en la demanda de gasolina NORMAL y SUPER, se obtiene la siguiente solución aplicando SOLVER de Excel:

     SOLUCION PROBLEMA CLASE DEL 18 JUNIO 2003 CON EFECTO PUBLICIDAD
                  Limite de
  x11  x12 x21 x22 x31 x32 Totales Simbolo  restriccion 
restriccion  1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 9000,0 <= 9.000,0
restriccion  2 1,000 1,000 0,000 0,000 -1,000 0,000 3000,0 <= 3.000,0
restriccion  3 0,000 0,000 1,000 1,000 0,000 -1,000 2000,0 <= 2.000,0
restriccion  4 1,000 0,000 1,000 0,000 1,000 0,000 5000,0 <= 5.000,0
restriccion  5 0,000 1,000 0,000 1,000 0,000 1,000 4000,0 <= 5.000,0
restricción  6 0,015 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 25,0 >= 0,0
restricción  7 0,000 0,000 0,005 -0,010 0,000 0,000 0,0 >= 0,0
restricción  8 2,000 -1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0 >= 0,0
restricción  9 0,000 0,000 1,000 -2,000 0,000 0,000 0,0 >= 0,0
restricción 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0 <= 0,0
Funcion objetivo (Xi) 2.100 3.100 1.100 2.100 -10 -10 16.680.000    
SOLUCION  1666,7 3333,3 1333,3 666,7 2000,0 0,0        

Al analizar los resultados del ingreso  de ambas tablas SOLVER, se observa que realizar la publicidad incrementan las ganancias en un  49,3 % al pasar de 11.166.667 Bs. a 16.680.000 Bs, lo cual justifica el gasto en publicidad ya que mejora sustancialmente las ganancias de SUNCO OIL.

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